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问题:圆的周长正以每分钟0.5米的速度增长。那么当半径为4米时,圆的面积变化率是多少?
答案:每分钟2平方米
以下是解题过程:
圆的周长 \( C \) 与半径 \( r \) 的关系为:\[lbk] C = 2\pi r \[rbk]根据题意,圆的周长正以每分钟0.5米的速度增长,即:\[lbk] rac{dC}{dt} = 0.5 ext{ m/min} \[rbk]我们需要求的是当半径 \( r \) 为4米时,圆的面积变化率。
圆的面积 \( A \) 与半径 \( r \) 的关系为:\[lbk] A = \pi r^2 \[rbk]首先,我们需要找到面积变化率 \(rac{dA}{dt}\)。
运用链式法则,我们可以写成:\[lbk] rac{dA}{dt} = rac{dA}{dr} \cdot rac{dr}{dt} \[rbk]已知:\[lbk] A = \pi r^2 \[rbk]对 \( r \) 求导:\[lbk] rac{dA}{dr} = 2\pi r \[rbk]接下来,我们需要求出 \(rac{dr}{dt}\)。
已知:\[lbk] C = 2\pi r \[rbk]对时间 \( t \) 求导:\[lbk] rac{dC}{dt} = 2\pi rac{dr}{dt} \[rbk]将 \(rac{dC}{dt} = 0.5 \) 代入上式:\[lbk] 0.5 = 2\pi rac{dr}{dt} \[rbk]解得:\[lbk] rac{dr}{dt} = rac{0.5}{2\pi} = rac{1}{4\pi} ext{ m/min} \[rbk]
现在我们有:\[lbk] rac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot rac{1}{4\pi} = rac{r}{2} \[rbk]当半径 \( r = 4 \) 米时:\[lbk] rac{dA}{dt} = rac{4}{2} = 2 ext{ m}^2/ ext{min} \[rbk]
因此,当半径为4米时,圆的面积变化率是 \( 2 ext{ m}^2/ ext{min} \)。当半径为4米时,圆的面积变化率是每分钟2平方米。因此,答案是:当半径为4米时,圆的面积变化率是 2平方米每分钟。
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